Question

已知曲線C上任一點(diǎn)P到直線x=1與點(diǎn)F（-1，0）的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=x+b與曲線C交于點(diǎn)A，B，問(wèn)在直線l：y=2上是否存在與b無(wú)關(guān)的定點(diǎn)M，使得直線MB與MA關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)F（-1，0）為拋物線的焦點(diǎn)，x=1為其準(zhǔn)線，設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則拋物線方程可得．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)存在點(diǎn)M（a，2）滿足條件，根據(jù)題意可推斷出k_AM+k_BM=0，把A，B坐標(biāo)代入，同時(shí)根據(jù)拋物線方程可知x₁和y₁，x₂和y₂的關(guān)系，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，代入方程③中，求得a的值，推斷出出存在點(diǎn)M（-1，2）滿足題意．

解答：解：（1）依題意，曲線C為拋物線，且點(diǎn)F（-1，0）為拋物線的焦點(diǎn)，x=1為其準(zhǔn)線，
則拋物線形式為y²=-2px，由

p

2

=1，得p=2，
則曲線C的方程為y²=-4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)存在點(diǎn)M（a，2）滿足條件，則k_AM+k_BM=0
即

y1-2

x1-a

+

y2-2

x2-a

=0，即x₂y₁+x₁y₂-2（x₁+x₂）-a（y₁+y₂）=0①
而x1=-

y 2 1

4

，x2=-

y 2 2

4

，②
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0，
即為：y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]-16a=0，③
由

y=x+b y2=-4x

得：y²+4y-4b=0，
則y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，④
將④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在點(diǎn)M（-1，2）滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和運(yùn)算能力的．