Question

已知函數(shù)f(x)=

cosx

a+sinx

 （a為實(shí)數(shù)）
（Ⅰ） 當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 若當(dāng)x∈(-

π

2

，

π

2

)時(shí)，函數(shù)f（x）有極值，求a的取值范圍并求此極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）若使f（x）有意義，則a≤-1或a≥1．（1）a=-1，則f'（x）≤0恒成立，f（x）無極值；若a＜-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）存在極小值；（2）a=1，則f'（x）≤0恒成立，故f（x）無極值；若a＞1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）存在極大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

-1-2sinx

(2+sinx)2

令f′（x）＞0，得f（x）的增區(qū)間為(-

5π

6

+2kπ，-

π

6

+2kπ)(k∈Z) …（4分）
（Ⅱ）若使f（x）有意義，則a≤-1或a≥1    …（6分）
（1）當(dāng)a≤-1時(shí)，f′(x)=

-asinx-1

(a+sinx)2

，
1°若a=-1，則f'（x）≤0恒成立，故f（x）無極值
2°若a＜-1，令f′(x)=0⇒sinx=-

1

a

，則-1＜sinx＜-

1

a

，f'（x）＜0，f（x）遞減；-

1

a

＜sinx＜1，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）存在極小值，此時(shí)cosx=-

a2-1

a

，f（x）_極小值=-

1

a2-1

…（9分）
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)=

-asinx-1

(a+sinx)2

，
1°若a=1，則f'（x）≤0恒成立，故f（x）無極值
2°若a＞1，令f′(x)=0⇒sinx=-

1

a

，-1＜sinx＜-

1

a

，f'（x）＞0，f（x）遞增；-

1

a

＜sinx＜1，f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）存在極大值，此時(shí)cosx=

a2-1

a

，f（x）_極大值=

1

a2-1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，正確求導(dǎo)，恰當(dāng)分類是關(guān)鍵．