Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，點為的中點，為中點.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析； （2）； （3） 。

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)面面垂直的判定定理，證明：ＰＤ⊥平面ＡＢＭ即可.

（II）本小題易建立直角坐標系，然后利用向量法求解，設平面ABM的法向量,

則求解即可.

(III) 設所求距離為h，利用求距離即可.

（1）證明： 因為  ，為中點 ，  所以  AＭ⊥ＰＤ.

因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，

所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.                         ------------   4 分

 （向量法也可）

 （2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，， ，，，

設平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.

設所求角為，則，         ------------ 8 分

 （3）設所求距離為，由，

得：                  ----------------------  12分

考點：線面垂直，面面垂直的判定與性質，直線與平面所成的角，點O到平面的距離.

點評：掌握線線，線面，面面垂直的判定與性質，直線與平面所成的角的定義，點到平面的距離的常見求法是求解此類問題的基礎.