Question

已知數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，如果數(shù)列{b_n}：b₁，b₂，b₃，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…n，則稱{b_n}為{a_n}的“衍生數(shù)列”．若數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，a₃，a₄，的“衍生數(shù)列”是5，-2，7，2，則{a_n}為

 

；若n為偶數(shù)，且{a_n}的“衍生數(shù)列”是{b_n}，則{b_n}的“衍生數(shù)列”是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，由此能求出{a_n}為2，1，4，5；由已知猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，從而得到{b_n}的“衍生數(shù)列”是{a_n}．

解答： 解：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，
解得a₁=2，a₂=1，a₃=4，a₄=5，
∴{a_n}為2，1，4，5．
由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），
b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a_n），
因此猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，
①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，bk=ak+(-1)k(a1-an)，
當(dāng)i=k+1時(shí)，b_k+1=a_k+a_k+1-b_k，
=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=an+1+(-1)k+1(a1-an)，
∴i=k+1時(shí)，猜想成立，
由①②知，對(duì)于任意正整數(shù)i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
∴{b_n}的“衍生數(shù)列”是{a_n}．
故答案為：2，1，4，5；{a_n}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查衍生數(shù)列的求法和應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理猜想和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．