Question

已知數列 {a_n}，其中a₂=6且 =n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求（++…+ ）．

Answer 1

解：（1）∵a₂=6且 =n，
∴=1，=2，=3，..1′
解得a₁=1，a₃=15，a₄=28，…3′
（2）由此猜想a_n=n（2n-1）…4′
下面用數學歸納法加以證明：
①當n=1時，a₁=1×（2×1-1）=1，結論正確；
當n=2時，a₂=2×（2×2-1）=6，結論正確；…5′
②假設n=k（k≥2）時結論正確，即a_k=k（2k-1），
則當n=k+1時，
∵=k，
∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-（k+1）
=（k+1）k（2k-1）-（k+1）
=（k+1）（2k²-k-1）
=（k+1）（2k+1）（k-1），
∵k-1≠0，
∴a_k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
即當n=k+1時，結論正確…7′
由①②可知，數列{a_n}的通項公式為：a_n=n（2n-1）…8′
（3）∵==[-]…10′
∴（++…+ ）=（1-）=…12′
分析：（1）由a₂=6，=n，可求得a₁=1，a₃=15，a₄=28．
（2）由（1）可猜想a_n=n（2n-1），然后用數學歸納法證明即可；
（3））先用裂項法求得=[-]，從而得到++…+=（1-），再取極限即可得答案．
點評：本題考查數學歸納法，歸納猜想出a_n=n（2n-1）是關鍵，著重考查數學歸納法的證明與裂項法求和，考查運算能力，屬于中檔題．