Question

已知F（1，0），P是平面上一動點(diǎn)，P到直線l：x=-1上的射影為點(diǎn)N，且滿足
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（1，2）作曲線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)k₁，k₂變化且滿足k₁+k₂=-1時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），
從而，，
則=，
由，得，
即．
化簡得y²=4x，即為所求的P點(diǎn)的軌跡C的對應(yīng)的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
MA：y=k₁（x-1）+2，
MB：y=k₂（x-1）+2．
將y=k₁（x-1）+2與y²=4x聯(lián)立，得：
由，得①
同理 ②
而AB直線方程為：，
即③
由①②：y₁+y₂=

代入③得，，
整理得k₁k₂（x+y+1）+6+y=0．
則，故直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（5，-6）．
分析：（Ⅰ）設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量，然后代入整理即可得到點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，寫出直線MA，MB的方程，和拋物線聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后求出兩縱坐標(biāo)的和與積，然后由直線方程的兩點(diǎn)式寫出AB的直線方程，把兩縱坐標(biāo)的和與積代入直線方程后，利用直線系方程的知識可求出直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線的方程，考查了直線與拋物線的綜合，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了直線系方程，此題是有一定難度題目．