Question

２２.如圖，弧ADB為半圓，AB為直徑，O為半圓的圓心，且OD⊥AB，Q為半徑OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且始終保持|PA|+|PB|的值不變.

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)D的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求三角形OMN面積的最大值.

Answer 1

（1）  （2）

解析:

（1）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系　　

當(dāng)P與Q重合時(shí)，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=>|AB|=4.　

所以，P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為

（2）設(shè)直線方程為

由  消去得：　　　

所以，

又O到直線MN的距離為， 所以，S_△MON=|MN|　

令=m，則，

所以，