Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（0）=0即可解出；
（2）利用減函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可解出．

解答： 解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
∴f（0）=

-1+b

4

=0，解得b=1．
（2）由（1）可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，則2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2

-(

1

2x2+1

-

1

2

)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

，任意的t∈R恒成立．
∴k＜-

1

3

．
因此k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．