Question

3．若f（x）=x³-3x+m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-2＜m＜2．

Answer 1

分析 已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x³-3x+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，極小值小于0，極大值大于0．
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為 x₁=1，x₂=-1．
由于x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0； x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（1）=m-2和極大值f（-1）=m+2．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-3x+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{m-2＜0}\end{array}\right.$，解之得-2＜m＜2．
故答案為：-2＜m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力．