設(shè)雙曲線C：=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且．求a的值．
【答案】分析：（I）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項系數(shù)不等于0求得a的范圍，進而利用a和c的關(guān)系，用a表示出離心率，根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍．
（II）設(shè)出A，B，P的坐標，根據(jù)求得x1和x2的關(guān)系式，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2，聯(lián)立方程求得a．
解答：解：（I）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數(shù)解．消去y并整理得
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①
所以
解得0＜a＜且a≠1．
雙曲線的離心率
．
∵且a≠1，
∴且
即離心率e的取值范圍為．
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）
∵，
∴．
由此得．
由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
所以．
x1•x2=．
消去x2，得
由a＞0，所以a=．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
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設(shè)雙曲線C：數(shù)學公式-數(shù)學公式=1（a，b＞0），R1，R2是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，數(shù)學公式），△lR1R2的面積是數(shù)學公式，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且數(shù)學公式⊥數(shù)學公式．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年廣東省湛江市高二（上）期末數(shù)學試卷（選修2-1）（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且．求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：-=1（a，b＞0），R1，R2是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，），△lR1R2的面積是，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且⊥．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年山西省高考數(shù)學試卷（理）（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且．求a的值．

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