Question

已知函數(shù)f（x）= （x∈R）），給出下列命題：
（1）對?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（3）若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確命題的序號為    （把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

【答案】分析：命題（1）可直接代入驗證；
命題（2）分x=0和x≠0求解，當x≠0時，分子分母同時除以x可求；
命題（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)；
命題（4）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，分析在（0，+∞）上函數(shù)是否有零點，則在（-∞，0）隨之判出．
解答：（1）f（-x）=，所以（1）成立；
（2）當x=0時f（x）=0，因函數(shù)為奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=，∵，∴，
∴，即0＜f（x）＜1；由對稱性知當x＜0時，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（3）設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）===
∵x₁＜x₂＜0，∴，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）當x＞0時，由f（x）-x=0得，，此時方程無解，由對稱性知，當x＜0時，方程也無解，又f（0）=0，∴函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有一個零點0，所以④不正確．
故答案為①②③．
點評：本題考查了命題真假的判斷，解答的關(guān)鍵是把原函數(shù)分段，在（0，+∞）上判出函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點情況，根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，運用對稱性得到函數(shù)在整個定義域上的零點情況．