Question

【題目】如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，,.

（Ⅰ）證明：平面;

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求平面與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以AC為中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)OB，OC為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由得，由得，進(jìn)而得證；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，求解平面的法向量，利用求解即可；

（Ⅲ）由平面和平面ABC的法向量求解即可.

（Ⅰ）如圖，以AC為中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)OB，OC為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此

由得，

由得，

所以⊥平面.

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，由（Ⅰ）可知，，，

設(shè)平面的法向量.

由即可得

所以.

則余弦值為.

（Ⅲ）由上述條件可知，

設(shè)平面的法向量為.

由即，可得

平面ABC的法向可取

設(shè)平面與平面ABC的夾角為 β， 則，所以正弦值為.