Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）
（I）若f′（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（II）若對于m取任何值，直線y=x+m都不是函數(shù)f（x）圖象的切線，求a值的范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=（x²+1）（x+a）
∴f′（x）=3x²+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x²+4x+1
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（-，+∞）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（-1，-）時，f′（x）＜0，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（-，+∞）上為增函數(shù)
在區(qū)間（-1，-）上為減函數(shù)…（4分）
故在區(qū)間[-，1]上
當(dāng)x=-1，f（x）取極大值2，
當(dāng)x=-，f（x）取極小值，
又∵f（-）=，f（1）=6
∴函數(shù)y=f（x）在[-，1]上的最大值為6，最小值為；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x²+2ax+1
又∵函數(shù)f（x）圖象沒有y=x+m的切線
∴f′（x）=，即3x²+2ax+1=無實數(shù)解 …（8分）
即△=（2a）²-4×3×＜0 …（10分）
∴-＜a＜ …（12分）
分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a），可得f′（x）=3x²+2ax+1，結(jié)合f′（-1）=0，求出a值，進而分析出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性后，可得函數(shù)y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f′（x）=3x²+2ax+1，函數(shù)f（x）圖象沒有y=x+m的切線，故f′（x）=，即3x²+2ax+1=無實數(shù)解，即△＜0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得a值的范圍．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中（I）的關(guān)鍵是，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值和端點處的函數(shù)值，然后進行比較，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)f′（x）=無實數(shù)解，即△＜0，構(gòu)造關(guān)于a的不等式．