Question

設(shè)f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期為T=4，對(duì)x∈R都有f（-x）=f（x），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=(

1

2

)x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(1，

  3	4

  )
• D、(

  3	4

  ，2)

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得f（x+4）=

10

f(x+2)

=f（x），函數(shù)f（x）是一個(gè)周期4的偶函數(shù)，函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，從而log_a4＜3，且log_a8＞3，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵對(duì)于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，
∴f（x+4）=

10

f(x+2)

=f（x）
∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4．
∵對(duì)x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1，
在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
如右圖所示：
又f（-2）=f（2）=3，
則有 log_a4＜3，且log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
故a的取值范圍是（

3	4

，2）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．