Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的切線是y=kx-2，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）先求出在x=x處的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，又過點(diǎn)（x，f（x））求出切線方程，利用所求切線與y=kx-2是同一直線，建立等量關(guān)系，求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋海?，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴．
令f'（x）=0，則x=2．（3分）
當(dāng)x在（0，+∞）上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知：f（x）=2lnx-x，（7分）
曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的切線的斜率為．（8分）
∴切線方程為：．（9分）
∴．
∴．（10分）
∵切線方程為y=kx-2，
∴2lnx-2=-2．
∴x=1．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的切線的斜率．（13分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，曲線某點(diǎn)處的切線等基礎(chǔ)知識，考查利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．