Question

已知

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），A，B，C是△ABC的內(nèi)角
（1）當(dāng)A=

π

2

時(shí)，求|

n

|的值；
（2）若B=

π

6

，|AB|=3，當(dāng)

m

•

n

取最大值時(shí)，求A大小及BC邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）把A的度數(shù)代入取得出向量

n

坐標(biāo)，利用向量模的計(jì)算方法即可求出|

n

|的值；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

m

•

n

，求出

m

•

n

取最大值時(shí)A的度數(shù)，進(jìn)而求出C與B的度數(shù)，得到|BC|=|AC|=x，利用余弦定理列出關(guān)系式，求出x的值，即可求出|BC|．

解答： 解：（1）當(dāng)A=

π

2

時(shí)，

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C）=（

1

2

，1），
則|

n

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

；
（2）∵

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），
∴

m

•

n

=2

3

cos²

A

2

+sin（B+C）=

3

（1+cosA）+sinA=2sin（A+

π

3

）+

3

，
當(dāng)A=

π

6

時(shí)，

m

•

n

取得最大值，此時(shí)C=π-A-B=

2π

3

，
∴A=B=

π

6

，即|BC|=|AC|，
設(shè)|BC|=|AC|=x，
由余弦定理得：|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC|•|BC|•cosC，即9=x²+x²+x²=3x²，
解得：x=

3

，
則|BC|=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．