在五棱錐PABCDE中,PAABAE=2a,PBPEa,BCDEa,∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.

(1)求證:PA⊥平面ABCDE;

(2)求二面角APDE的大小;

(3)求點C到平面PDE的距離.

答案:
解析:

  (1)證明∵PAAB=2aPB=2a,∴PA2AB2PB2,∴∠PAB=90°,即PAAB

  同理PAAE.3分∵ABAEA,∴PA⊥平面ABCDE.……4分

  (2)∵∠AED=90°,∴AEED

  ∵PA⊥平面ABCDE,∴PAED

  ∴ED⊥平面PAE.過AAGPEG,

  ∴DEAG,∴AG⊥平面PDE

  過GGHPDH,連AH,由三垂線定理得AHPD

  ∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角.……7分

  在直角△PAE中,AGa.在直角△PAD中,AHa,

  ∴在直角△AHG中,sin∠AHG.∴∠AHG=arcsin

  ∴二面角APDE的大小為arcsin.……9分

  (3)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,BCDEa,ABAE=2a,

  取AE中點F,連CF,∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形.

  ∴CFAB,而AB∥DE,∴CFDE,而DE平面PDECF平面PDE,

  ∴CF∥平面PDE.∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離.……10分

  ∵PA⊥平面ABCDE,∴PADE.又∵DEAE,∴DE⊥平面PAE

  ∴平面PAE⊥平面PDE.∴過FFGPEG,則FG⊥平面PDE.

  ∴FG的長即F點到平面PDE的距離.……13分

  在△PAE中,PAAE=2a,FAE中點,FGPE,

  ∴FGa.∴點C到平面PDE的距離為a.……15分


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