(2012•珠海二模)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,CC1=4,AB=BC=3.
(1)若E、F分別是BC1、A1C1中點,求證:EF∥平面DCC1;
(2)求二面角A1-BC1-D的正弦值.
分析:(I)連接D1B1,B1C,利用長方體的性質可得E、F分別是B1D1和B1C的中點,再利用三角形的中位線定理可得EF∥D1C.利用線面平行的判定定理即可證明;
(II)通過建立空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角.
解答:(Ⅰ)證明:連接D1B1,B1C,則長方體ABCD-A1B1C1D1中,BC1∩B1C=E,D1B1∩A1C1=F,
∴E、F分別是B1D1和B1C的中點
∴EF∥D1C.又EF?平面DCC1;D1C?平面DCC1;
∴EF∥平面DCC1
(Ⅱ)解:建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(3,3,0),C1(0,3,4),A1(3,0,4).
BC1
=(-3,0,4),
DB
=(3,3,0),
A1C1
=(-3,3,0).
設平面DBC1的法向量為
n1
=(x1y1,z1)
,則
n1
DB
=3x1+3y1=0
n1
BC1
=-3x1+4z1=0
,取x1=4,解得y1=-4,z1=3,∴
n1
=(4,-4,3);
設平面A1BC1的法向量為
n2
=(x2,y2,z2),則
n2
BC1
=-3x2+4z2=0
n2
A1C1
=-3x2+3y2=0
,取x2=4,解得y2=4,z2=3,∴
n2
=(4,4,3);
cos<
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
9
41
,
設二面角A1-BC1-D的大小為θ,則sinθ=
1-(
9
41
)2
=
40
41

即二面角A1-BC1-D的正弦值為
40
41
點評:本題綜合考查了長方體的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過距離空間直角坐標系利用法向量的夾角求二面角等基礎知識與基本技能,考查了空間想象能力、推理能力和計算能力.
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=(  )

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