Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式

2x+1

＜1+ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別求出命題P，Q為真命題時(shí)的等價(jià)條件，利用命題P或Q為真命題，P且Q為假命題，求a的范圍即可．

解答： 解：當(dāng)命題p為真命題
即f（x）=lg（ax²-x+

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16

a）的定義域?yàn)镽，
即ax²-x+

1

16

a＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，
∴

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

解得a＞2，
當(dāng)命題q為真命題
即

2x+1

-1＜ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立
即a＞

2x+1 -1

x

=

2x

x( 2x+1 +1)

=

2

2x+1 +1

對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，
∵x＞0，
∴

2x+1

＞1，
∴

2x+1

+1＞2，
∴

2

2x+1 +1

＜1，
∴命題q為真命題時(shí)a≥1．
∵命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，
∴p與q有且只有一個(gè)是真命題．
當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；
當(dāng)p假q真時(shí)，a∈[1，2]．
綜上知a∈[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題真假的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q為真命題的等價(jià)條件是解決這類題的關(guān)鍵，屬于一道中檔題．