Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD；
（2）當 = 時，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BC1，交B1C于E，連接DE．

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，D是AB中點

∴側面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線

∴DE∥AC1，

又∵DE平面B1CD，AC1平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2

∴AC⊥BC，所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C﹣xyz．

則B （3，0，0），A （0，4，0），

A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．

設D （a，b，0）（a＞0，b＞0），

∵點D在線段AB上，且 = ，即 =

∴a= ，b=

∴ =（﹣3，0，﹣4）， =（ ， ，0）

顯然 =（0，0，4）是平面BCD的一個法向量

設平面B1CD的法向量為 =（x，y，z），那么

由 =0， =0，得 ，

令x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ）

∴cos = = =﹣

又二面角B﹣CD﹣B1是銳角，故其余項值為

【解析】（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．