Question

已知(

x

+

2

x

)n展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512．
（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）利用展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，先求出n，然后利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)．
（2）令x=1，即可得到展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．

解答：解：（1）∵展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512．
∴2ⁿ=512，解得n=9．
則第r+1項(xiàng)為通項(xiàng)公式為：Tr+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

2

x

)r=2r

C

r 9

x

9

2

-

3

2

r，（r=0，1，2，…，9）
令

9

2

-

3

2

r=0得r=3．
故常數(shù)項(xiàng)為T4=23

C

3 9

=672．
（2）令x=1，得系數(shù)和為（1+2）⁹=3⁹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用，利用換元法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的多項(xiàng)式形式是解決本題的關(guān)鍵．