已知函數(shù)，（其中）.

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設函數(shù)，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（2）.

（3）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)非負，函數(shù)是增函數(shù)，導數(shù)非正，函數(shù)是減函數(shù).通過研究函數(shù)的導數(shù)值正負，解決問題；

（2）利用“轉化與劃歸思想”，由題意得到在上恒成立，即在上恒成立，應用二次函數(shù)的性質得到，解得，注意驗證時，是否恒為0；

（3）將“存在，對任意的，總有成立”轉化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式組.

試題解析：（1），，

，故.

當時，；當時，.

的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為. 3分

（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數(shù)開口向上，且對稱軸為，故在上單調遞增，因此只需使，解得；

易知當時，且不恒為0.

故. 7分

（3）當時，，，故在上，即函數(shù)在上單調遞增，. 9分

而“存在，對任意的，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

而在上的最大值為中的最大者，記為.

所以有，，

.

故實數(shù)的取值范圍為. 13分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，轉化與劃歸思想，不等式的解法.

 

練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=,b+c=3(b＞c)，當ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.

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已知,函數(shù)，，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),

（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；

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（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)≥0，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數(shù)，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

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．（14分）已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍

 

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已知函數(shù)，（其中）的周期為π，且圖象上一個最低點為。

 (1)求的解析式；

(2)當時，求的最值

 

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