Question

解指、對數(shù)不等式：
（1）4^x-2^x-6＜0；
（2）log₂2x•log₂

x

4

＞0；
（3）

5x-1

＞5^x-3；
（4）log_x5-2log 

5

x＞3；
（5）

2

1-logax

≥2log_ax+3（0＜a＜1）．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）因式分解后直接求解指數(shù)不等式得答案；
（2）把不等式左邊化為log₂x的形式，求解二次不等式得log₂x的范圍，進(jìn)一步求解對數(shù)不等式得答案；
（3）分類討論求解無理不等式，轉(zhuǎn)化為不等式組后得到5^x的范圍，求解指數(shù)不等式得答案；
（4）利用換元法求解，得到log₅x的范圍，然后求解對數(shù)不等式得答案；
（5）把不等式移項，通分后利用穿根法求解關(guān)于log_ax的不等式，得到log_ax的范圍后求解對數(shù)不等式得答案．

解答： 解：（1）由4^x-2^x-6＜0，得（2^x+2）（2^x-3）＜0，
即-2＜2^x＜3，
∴x＜log₂3．
∴4^x-2^x-6＜0的解集為（-∞，log₂3）；
（2）由log₂2x•log₂

x

4

＞0，得
（1+log₂x）（log₂x-2）＞0，即log₂x2，
解得，0＜x＜

1

2

或x＞4．
∴l(xiāng)og₂2x•log₂

x

4

＞0的解集為(0，

1

2

)∪（4，+∞）；
（3）

5x-1

＞5^x-3?

5x-3＜0 5x-1≥0

①或

5x-3≥0 5x-1＞0 5x-1＞(5x-3)2

②
解①得0≤x＜log₅3；
解②得3≤5^x＜5，即log₅3≤x＜1．
∴

5x-1

＞5^x-3的解集為[0，1）；
（4）由log_x5-2log 

5

x＞3，
得log_x5-4log₅x-3＞0，
令log₅x=t，則不等式化為

1

t

-4t-3＞0，
即

1-4t2-3t

t

＞0，t（t+1）（4t-1）＜0，
解得t＜-1或0＜t＜

1

4

．
即log₅x＜-1或0＜log₅x＜

1

4

，
∴0＜x＜

1

5

或1＜x＜

4	5

．
∴l(xiāng)og_x5-2log 

5

x＞3的解集為(0，

1

5

)∪(1，

4	5

)；
（5）由

2

1-logax

≥2log_ax+3，
得

2

1-logax

-2log_ax-3≥0，

2-2logax+2log2ax-3+3logax

1-logax

≥0，
即

2log2ax+logax-1

logax-1

≤0，

(logax+1)(2logax-1)

logax-1

≤0，
解得，log_ax≤-1或

1

2

≤logax＜1．
∵0＜a＜1，
∴x≥

1

a

或a＜x≤

a

．
∴

2

1-logax

≥2log_ax+3（0＜a＜1）的解集為(a，

a

]∪[

1

a

，+∞)．

點評：本題考查了指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，考查了換元法，訓(xùn)練了穿根法求解不等式，是中檔題．