Question

給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=

4

3

y；
②已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為y=-

1

4a

；
④已知雙曲線

x2

4

+

y2

m

=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對(duì)于①，先救出直線恒過的定點(diǎn)，再求出符合條件的拋物線方程，判斷得①正確；②中根據(jù)漸近線方程求得a和b的關(guān)系進(jìn)而根據(jù)焦距求得a和b，橢圓方程可得．③把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程．④根據(jù)離心率的范圍求得m的取值范圍判斷④正確．

解答：解：①整理直線方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P（-2，3），故符合條件的方程是 x2=

4

3

y，則①正確；
②依題意知

b

a

=2，a²+b²=25，得a=

5

，b=2

5

，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

5

-

y2

20

=1，故可知結(jié)論②正確．
③拋物線方程得x²=

1

a

y，可知準(zhǔn)線方程為 y=-

1

4a

，故③正確．
④離心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范圍是-12＜m＜0，④正確，
故其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是：4
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．