已知函數(shù)f(x)=(ax-2)ex在x=1處取得極值.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[m,m+1]上的最小值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f′(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a=1.
(2)由f(x)=(x-2)ex,得f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.由f′(x)=0,得x=1,由此列表討論,能求出f(x)在[m,m+1]上的最小值.
解答: 解:(1)f′(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex
由已知得f'(1)=0即(2a-2)ex=0解得:a=1
當a=1時,在x=1處函數(shù)f(x)=(x-2)ex取得極小值,所以a=1.(4分)
(2)由f(x)=(x-2)ex,
得f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex
由f′(x)=0,得x=1,
列表討論:
x(-∞,1)1(1,+∞)
f'(x)-0+
f(x)
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)遞減,在(1,+∞)遞增;
當m≥1時,f(x)在[m,m+1]單調(diào)遞增,fmin(x)=f(m)=(m-2)em,
當0<m<1時,m<1<m+1f(x)在[m,1]單調(diào)遞減,
在[1,m+1]單調(diào)遞增,fmin(x)=f(1)=-e.
當m≤0時,m+1≤1,f(x)在[m,m+1]單調(diào)遞減,
fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1
綜上,f(x)在[m,m+1]上的最小值:
fmin(x)=
(m-2)em,m≥1
-e,0<m<1
(m-1)em+1,m≤0
.(4分)
點評:本題考查實數(shù)值的求法,考查函數(shù)的最小值的求法,解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的極值:
(1)f(x)=
x3-2
2(x-1)2

(2)f(x)=x2e-x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0,a3和a5是方程x2-14x+45=0的兩根,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且有Sn=
1-bn
2
(n∈N*
(1)求{an}和{bn}的通項;
(2)若{an•bn}的前n項和為Tn,且ax2+(a-1)x-
2
3
≤Tn對任意n∈N*恒成立,試求x的取值集合,其中a∈R.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若存在非零常數(shù)T,對任意x∈R均有f(x+T)=T•f(x),則稱f(x)為T線性相關(guān)函數(shù).
(1)判斷g(x)=x是否為T線性相關(guān)的函數(shù);
(2)若h(x)=sinkx為T線性相關(guān)函數(shù),求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+mx-lnx,m∈R
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,3]上是增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)令F(x)=f(x)-x2,是否存在實數(shù)m,當x∈(0,e](e是自然常數(shù))時,函數(shù)F(x)的最小值是2,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+alnx(a∈R).
(Ⅰ)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=f(x)+
1
x
在[1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓O:x2+y2=1與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,M是圓O上任意一點,直線AM與BC交于點P,CM交x軸于點N,設(shè)直線PM,PN的斜率分別為m,n.
(1)試求點M,N坐標;
(2)求證:m-2n為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sin(α-
π
4
)=m,則cos2
3
4
π-α)-tan(kπ+α-
π
4
)•cos(α-
7
4
π)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若關(guān)于x的不等式x3-3x2-9x+2-m≥0對任意x∈[-2,2]恒成立,則m的取值范圍是
 

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