Question

【題目】某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件．
（Ⅰ）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收人不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（Ⅱ）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入 （x2﹣600）萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入 x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設每件定價為x元，則提高價格后的銷售量為 ，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，有 ，整理得x2﹣65x+1000≤0，
解得25≤x≤40．
∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．
（Ⅱ）依題意，x＞25時，
不等式 有解，
等價于x＞25時， 有解
∵ （當且僅當x=30時，等號成立），
∴a≥10.2．此時該商品的每件定價為30元
∴當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．
【解析】（Ⅰ）設每件定價為x元，則提高價格后的銷售量為 ，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；（Ⅱ）依題意，x＞25時，不等式 有解，等價于x＞25時， 有解，利用基本不等式，我們可以求得結論．