已知：任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，?求證：
EF
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
分析：證法一：由E、F分別是AD、BC的中點，我們根據(jù)相反向量的定義，易得
EA
+
ED
=
0
，
FB
+
FC
=
0
，利用平面向量加法的三角形法則，我們易將向量
EF
分別表示為
AB
+
BF
+
EA
和
ED
+
DC
+
CF
的形式，兩式相加后，易得到結論．
證法二：連接
EB
，
EC
，由向量加法的平行四邊形法則，我們易將向量
EF
表示為
1
2
(
EC
+
EB
)，然后再利用向量加法的三角形法則，即可得到結論．
解答：精英家教網(wǎng)證法一：如圖，
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴
EA
+
ED
=
0
，
FB
+
FC
=
0
，
又∵
AB
+
BF
+
FE
+
EA
=
0
，
∴
EF
=
AB
+
BF
+
EA
①
同理
EF
=
ED
+
DC
+
CF
②
由①+②得，
2
EF
=
AB
+
DC
+
EA
+
ED
+
BF
+
CF
=
AB
+
DC
．
∴
EF
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
方法二：連接
EB
，
EC
，
則
EC
=
ED
+
DC
，精英家教網(wǎng)
∴
EF
=
1
2
(
EC
+
EB
)
=
1
2
(
ED
+
DC
+
EA
+
AB
)
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
點評：本題考查的知識點是向量加減混合運算及其幾何意義，向量的三角形法則，其中根據(jù)向量加法的三角形法則對待證結論中的向量進行分解是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且km=-
1
a2
．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直線AB經(jīng)過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數(shù)k，是否存在a∈[2，+∞），使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列幾個命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設
a
，
b
，
c
為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是
 
．（寫出全部正確結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題錯誤的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年安徽省合肥市高三第一次教學質量檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

有下列命題：

①已知是平面內兩個非零向量，則平面內任一向量都可表示為，其中；

②對任意平面四邊形ABCD，點E、F分別為AB、CD的中點，則；

③直線的一個方向向量為；

④已知與夾角為，且·＝，則｜－｜的最小值為；

⑤是（·）·＝·（·）的充分條件；

其中正確的是 （寫出所有正確命題的編號）．

 

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