如圖所示，已知PD垂直以AB為直徑的圓O所在平面，點D在線段AB上，點C為圓O上一點，且BD=
3
PD=3，AC=2AD=2．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求點B到平面PAC的距離．
考點：直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明CD⊥平面PAB即可．
（2）根據(jù)體積相等，建立體積關系即可得到結論．
解答： 證明：（1）由BD=
3
PD=3，AC=2AD=2．知AB=4，A0=2，則點D為AO的中點，
連OC，
∵AO=AC=OC=2A，∴△AOC為等邊三角形，
∵D為AO的中點，∴CD⊥AO，
∵PD⊥平面ABC，CD?面ABC，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D，PD?面PAB，AO?面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
∵PA?面PAB，
∴PA⊥CD；
解：（2）由（1）知CD⊥AB，CD=
3
，S△ABC=
1
2
×4×
3
=2
3
，
∵PD⊥平面ABC，VP-ABC=
1
3
S△ABC×PD=
1
3
×2
3
×
3
=2，
則直角三角形PCD中，PC=
PD2+CD2
=
6
，
在直角三角形PAD中，PA=
PD2+AD2
=2，
在等腰三角形PAC中，PC邊上的高為
22-(
6
2
)2
=
10
2
，
S△APC=
1
2
×
6
×
10
2
=
15
2
，
設B到平面PAC的距離為d，由VP-ABC=VB-PAC，
∴
1
3
×
15
2
×d=2，
解得d=
4
15
5
，
即點B到平面PAC的距離
4
15
5
點評：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及點到平面的距離的計算，根據(jù)體積相等是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
e1
、
e2
是平面內(nèi)的兩個向量，則有（　�。�
A、
e1
、
e2
一定平行
B、
e1
、
e2
的模相等
C、對同一平面內(nèi)的任一向量
a
，都有
a
=λ
e1
+μ
e2
（λ，μ∈R）
D、若
e1
、
e2
不共線，則對平面內(nèi)的任一向量
a
都有
a
=λ
e1
+μ
e2
（λ，μ∈R）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)f（x），對?x都有f（x）=f（2-x），則下列選項一定正確的是（　�。�
A、f（-x）為偶函數(shù)
B、f（x-1）為偶函數(shù)
C、f（1-x）為偶函數(shù)
D、f（x-2）為偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b均為正實數(shù)，且4a+b+5=ab，則ab的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在橢圓
x2
4
+
y2
7
=1上求一點P，使其到直線l：3x-2y-16=0的距離最短．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形（點A′∉平面ABC），則下列命題中正確的是
 
．
①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分別是棱AB、PC的中點，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求證：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；
（Ⅱ）若點Q在線段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C-PQ-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左，右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2為正三角形，則該雙曲線的離心率e為（　�。�
A、2
B、
2
C、3
D、
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
1
2
+
2
2
sin(2x-
π
4
)在[0，a]上的值域為[0，
1+
2
2
]，則實數(shù)a的取值（　�。�
A、[0，
3π
8
]
B、[
3π
8
，
3π
4
]
C、[0，π]
D、[
3π
8
，π]

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