Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據條件得到△ABC為正三角形，結合E為BC的中點以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內的射影，從而得到AE與PD垂直．
（Ⅱ）先根據條件建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，結合直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求出AP的長，進而求出兩個半平面的法向量，代入向量的夾角計算公式即可求出結論．
解答：解：（Ⅰ）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD．
所以 AE⊥PD．…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
設AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（，-1，0），
C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（）．
所以=（，-1，-a），且=（，0，0）為平面PAD的法向量，
設直線PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜，＞|===，解得a=2．…4
所以=（，0，0），=（，，1）．
設平面AEF的一法向量為=（x₁，y₁，z₁），則，因此，
取z₁=-1，則=（0，2，-1）．
因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量．
又=（-，3，0），所以cos＜，＞=．
因為二面角E-AF-C為銳角，故所求二面角的余弦值為．…4
點評：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質和棱錐的體積等幾個知識點，屬于中檔題．請同學們留意在解題過程中“空間問題平面化的思路”，是立體幾何常用的數學思想．