Question

如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；

（2）當三棱錐的體積最大時，設(shè)點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小．

 

Answer 1

（1）時,三棱錐的體積最大．（2）當時，．與平面所成角的大小．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則．又，所以.由此易將三棱錐的體積表示為的函數(shù)，通過求函數(shù)的最值的方法可求得它的最大值.

（2）沿將△折起后，兩兩互相垂直，故可以為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可找到點N的位置，并求得與平面所成角的大�。�

試題解析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

當且僅當，即時，等號成立，

故當，即時,三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．

當時，；當時，．

所以當時，取得最大值．

故當時,三棱錐的體積最大．

（2）以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系．

由（1）知，當三棱錐的體積最大時，，．

于是可得，，，，，，

且．

設(shè)，則.因為等價于，即

，故，.

所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時，．

設(shè)平面的一個法向量為，由及，

得可取．

設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．

考點：1、棱錐的體積；2、空間直線與直線的垂直關(guān)系及直線與平面所成的角；3、空間向量.