Question

（2013•醴陵市模擬）已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₄+a₆=22．{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n 及S_n；
（Ⅱ）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在等差數(shù)列{a_n}中，由a₂=5，a₄+a₆=22，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，建立方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n 及S_n．
（Ⅱ）由f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），知bn=

1

an2-1

，由a_n=2n+1，知bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：（本小題滿分13分）
解．（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d
∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴

a1+d=5 2a1+8d=22

，…（2分）
解得a₁=3，d=2，…（4分）
∴a_n=2n+1，Sn=n2+2n．…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），
∴bn=

1

an2-1

，…（7分）
∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)，
∴bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，…（9分）
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）…（11分）
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

，
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

4(n+1)

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．