Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若方程f（x）=t在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)大于0，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減可得解（Ⅲ）根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個(gè)式子成立，兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個(gè)范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)    …（1分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在上遞增，在單調(diào)遞減．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減
又
∴
∴當(dāng)時(shí)，方程f（x）=t有兩解   …（8分）
（Ⅲ）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證：
設(shè)，則…（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個(gè)綜合題，題目難度中等，在證明不等式時(shí)，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法