Question

某大學生創(chuàng)業(yè)團隊淘寶項目每月要投入一定的營銷費用，已知每投入營銷費用k萬元，每月銷售收入大概增加-k²+5k+1萬元．（利潤=增加的銷售收入-投入）
（Ⅰ）若該創(chuàng)業(yè)團隊將本月的營銷費用控制在3萬元之內(nèi)，則應投入多少營銷費用才能使該項目本月利潤最大．
（Ⅱ）現(xiàn)該創(chuàng)業(yè)團隊本月準備投入3萬元，分別用于營銷費用和產(chǎn)品研發(fā)升級，經(jīng)預測，產(chǎn)品研發(fā)升級費用每投入x萬元增加的銷售收入大概為-

1

3

x³+x²+3x萬元，如何分配該筆資金，使該項目本月利潤最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，建立利潤函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和最值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（I）設本月利潤為y萬元，則y=-k²+5k+1-k（0≤k≤3）=-k²+4k+1=-（k-2）²+5，
則當k=2時，y_max=5，因此投入營銷費用2萬元時本月利潤最大．
（II）設本月利潤為y萬元，產(chǎn)品研發(fā)升級費用每投入x萬元（0≤x≤3）
所以y=-

1

3

x3+x2+3x+[-(3-x)2+5(3-x)+1]-3=-

1

3

x3+4x+4（0≤x≤3），
y′=-x²+4，令y′=0，則x=2（舍去負值），
當2＜x＜3時，y′＜0，當0＜x＜2時，y′＞0，
因此x=2時函數(shù)取得極大值y=

28

3

，
故x=2時函數(shù)在[0，3]取得最大值，
因此，當投入2萬元用于產(chǎn)品研發(fā)升級，1萬元用于營銷費用，本月利潤最大．

點評：本題主要考查函數(shù)的應用問題，求函數(shù)的最值常見的方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用導數(shù)進行求解．