已知函數(shù)f(x)=
-x2+
1
2
x,x<0
ln(x+1), x≥0
,若f(x)-kx有三個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
分析:由題意畫(huà)出圖象,利用導(dǎo)數(shù)對(duì)x分x=0、x<0、x>0三種情況各有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)的k的取值范圍求出來(lái),再求交集即可.
解答:解:由題意畫(huà)出圖象:
(1)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=ln1=0,k×0=0,0是函數(shù)f(x)-kx的一個(gè)零點(diǎn);
(2)由函數(shù)的圖象和單調(diào)性可以看出,當(dāng)x>0和x<0時(shí),分別有一個(gè)零點(diǎn).
①.當(dāng)x<0時(shí),由-x2+
1
2
x=kx
,化為x=
1
2
-k
<0,解得k>
1
2
;
②當(dāng)x>0時(shí),只考慮k>
1
2
即可,
令g(x)=ln(x+1)-kx,則g(x)=
1
x+1
-k
,
A.當(dāng)k≥1時(shí),則g(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴g(x)<g(0)=0,g(x)無(wú)零點(diǎn),應(yīng)舍去;
B.當(dāng)
1
2
<k<1
時(shí),0<
1-k
k
<1

g(x)=
-k(x-
1-k
k
)
x+1
,令g(x)=0,解得x=
1
k
-1
,列表如下:
由表格可知:當(dāng)x=
1-k
k
時(shí),g(x)取得極大值,也是最大值,當(dāng)且僅當(dāng)g(
1-k
k
)≥0
時(shí),g(x)才有零點(diǎn),
g(
1-k
k
)
=ln
1
k
-(1-k)
=k-lnk-1.
下面證明h(k)=k-lnk-1>0,k∈(
1
2
,1)

h(k)=1-
1
k
=
k-1
k
<0
,∴h(k)在(
1
2
,1)
上單調(diào)遞減,∴g(
1-k
k
)
=h(k)>h(1)=1-ln1-1=0,
因此g(
1-k
k
)>
0在k∈(
1
2
,1)
時(shí)成立.
綜上可知:當(dāng)且僅當(dāng)
1
2
<k<1
時(shí),函數(shù)f(x)-kx有三個(gè)零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的方法及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱(chēng),求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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