Question

近幾年，上海市為改善城區(qū)交通投入巨資，交通狀況有了一定的改善，但人民廣場(chǎng)仍是市中心交通最為擁堵的地區(qū)之一．為確保交通安全，規(guī)定在此地段內(nèi)，車距d是車速v（千米/小時(shí)）的平方與車身長(zhǎng)s（米）之積的正比例函數(shù)，且最小車距不得少于車身長(zhǎng)的一半，現(xiàn)假定車速為50千米/小時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)．
（1）試寫出d關(guān)于v的解析式（其中s為常數(shù)）；
（2）問(wèn)應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使此地車流量Q=

1000v

d+s

最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)車距d是車速v（千米/小時(shí)）的平方與車身長(zhǎng)s（米）之積的正比例函數(shù)，可假設(shè)函數(shù)解析式．利用車速為50千米/小時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)．可求d關(guān)于v的解析式；
（2）根據(jù)Q=

1000v

d+s

，可得關(guān)于v的函數(shù)，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由已知：d=ksv2⇒k=

1

2500

∴d=

1

2500

sv2
當(dāng)d≥

s

2

時(shí)，

1

2500

sv2≥

s

2

⇒v≥25

2

∴d=

s 2 ，0＜v＜25 2 1 2500 sv2，v≥25 2

（2）當(dāng)v≥25

2

時(shí)，d=

1

2500

sv2
∴Q1=

1000v

1 2500 sv2+s

=

2500000

s(v+ 2500 v )

≤

25000

s

v，此時(shí)v=50千米/小時(shí)
當(dāng)0＜v＜25

2

時(shí)，d=

s

2

∴Q2=

1000v

s 2 +s

=

1000v

3s

＜Q1
故當(dāng)v=50千米/小時(shí)時(shí)，車流量最大．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型．主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同時(shí)考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．