Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，△ADE是等邊三角形，側(cè)面ADE⊥底面ABCD，其中AB∥DC，BD=2DC=4，AD=3，AB=5．
（Ⅰ）若F是EC上任一點，求證：平面BDF⊥平面ADE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：平面BDF⊥平面ADE，只要證明BD⊥平面ADE，即可證明兩平面垂直．
（Ⅱ）求三棱錐C-BDE的體積．轉(zhuǎn)化為求E-BCD的體積，求出底面面積，和E到底面的距離即可．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABD中，BD=4，AD=3，AB=5
∴AB²=AD²+BD²
∴BD⊥AD（2分）
又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD
∴BD⊥平面ADE
∵BD?平面BDF

（Ⅱ）取AD中點H，由△ADE是等邊三角形，得EH⊥AD
∵平面ADE⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD
∴V_C-BDE=V_E-BCD
=

1

3

•S△BCD•EH
又∵△ADE中，EH=

3 3

2

，△ABD中，AB邊上的高=

3×4

5

=

12

5

∴S△BCD=SABCD-S△ABD=

1

2

×(2+5)×

12

5

-

1

2

×3×4=

12

5

∴VE-BCD=

1

3

×

12

5

×

3 3

2

=

6 3

5

∴三棱錐C-BDE的體積為

6 3

5

（12分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力以及化歸與轉(zhuǎn)化能力．