Question

已知各項為正數的數列{a_n}的前n項和為{S_n}，首項為a₁，且2，a_n，S_n成等差數列，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=log2an，cn=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，2a_n=2+S_n，結合2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）可得數列a_n與a_n-1的關系，結合特殊數列的通項公式可求
（II）由b_n=log₂a_n=n，可得Cn=

bn

an

=

n

2n

，利用乘公比錯位相減可求和

解答：解：（I）由題意可得，2a_n=2+S_n①
∴2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）②
①-②可得，a_n=2a_n-1（n≥2）
∵2a₁=2+S₁∴a₁=2
由等比數列的通項公式可得，an=2n
（II）∵b_n=log₂a_n=n，Cn=

bn

an

=

n

2n

∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

∴Tn=2-

2+n

2n

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，乘公比錯位相減求解數列的和方法是數列求和的重點與難點．