已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點A（
2
2
，1），離心率為
2
2
，斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過橢圓的上焦點F且與橢圓交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸交于點M（0，m），與x軸交于點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）記△MPQ，△NMF的面積分別為S1、S2，若S1=6S2，求直線l的方程．
分析：（1）由題意橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點A（
2
2
，1），離心率為
2
2
，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，確定PQ的方程，令x=0可得m=
1
2+k2
，從而可求m的取值范圍；
（3）求出N(
k
2+k2
，0)，M（0，
1
2+k2
），利用韋達定理求出|x1-x2|，進而表示出面積，利用S1=6S2，建立方程，即可求得直線的方程．
解答：解：（1）由題意可得
c
a
=
2
2
1
2b2
+
1
a2
=1
a2-b2=c2
，∴a=
2
，b=1，c=1
∴橢圓C的方程為x2+
y2
2
=1；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-
2k
2+k2
，x1x2=-
1
2+k2
，y1+y2=
4
2+k2

∴PQ的中點坐標為（-
2k
2+k2
，
2
2+k2
）
∴PQ的方程為y=-
1
k
(x+
k
2+k2
)+
2
2+k2
①
令x=0可得m=
1
2+k2
，∴M（0，
1
2+k2
）
∵k≠0，∴m∈（0，
1
2
）；
（3）在①中，令y=0可得：x=
k
2+k2
，∴N(
k
2+k2
，0)
由（2）得，M（0，
1
2+k2
），|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
2
×
1+k2
2+k2

∴S1=
1
2
|MF||x1-x2|=
2
(1-m)
m(1-m)

S2=
1
2
|MF||NO|=
1
2
(1-m)
m(1-m)

∵S1=6S2
∴
2
(1-m)
m(1-m)
=3(1-m)
m(1-m)

∴m=
7
16

∴k=±
14
7

∴l(xiāng)的方程為y=±
14
7
x+1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確表示面積是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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