Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（I）化曲線C₁的參數(shù)方程為普通方程，化曲線C₂的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（II）直線為參數(shù)）過曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點，求直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)θ化為普通方程；
由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0化為直角坐標(biāo)方程x²+y²+6y-8x=0可化為（x-4）²+（y+3）²=25，圓心C₂（4，-3），半徑r=5．
（Ⅱ）由曲線C₁的方程，令x=0得y=±3，∴曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點為（0，-3）；
∵直線為參數(shù)）過點（0，-3），∴，解得，
∴直線l的方程為3x-4y-12=0．
設(shè)與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，
則圓心C₂（4，-3）到直線l的距離d=r，即化為|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可；
（Ⅱ）利用已知條件先求出直線l的方程，再利用直線與圓相切的充要條件即可求出．
點評：熟練掌握三角函數(shù)的平方關(guān)系、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、直線與圓相切的充要條件是解題的關(guān)鍵．