Question

已知函數(shù)f(x)＝log_a(1－a^x)，(a＞0且a≠1)．

(1)求f(x)的定義域、值域；

(2)證明f(x)在定義域上是減函數(shù)；

(3)求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)函數(shù)f(x)的定義域即不等式1－ax＞0的解集，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難得到，而其值域必須由中間變量u＝1－ax的取值范圍來確定．(2)分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以證得．(3)即證明f(x)和自身互為反函數(shù)． 　　解：(1)由1－ax＞0，得ax＜1．當(dāng)a＞1時，得x＜0；當(dāng)0＜a＜1時，得x＞0． 　　又0＜ax＜1，故0＜1－ax＜1，當(dāng)a＞1時，得y＜0；當(dāng)0＜a＜1時，得y＞0． 　　綜上可得：當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)的定義域和值域都是(－∞，0)；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)的定義域和值域都是(0，＋∞)． 　　(2)證明：當(dāng)a＞1時，任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則＜＜1，于是1－＞1－＞0，從而loga(1－)＞loga(1－)，即f(x1)＞f(x2)，故此時函數(shù)為減函數(shù)．當(dāng)0＜a＜1時，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則1＞＞，于是0＜1－＜1－，從而loga(1－)＞loga(1－)，即f(x1)＞f(x2)，故此時函數(shù)為減函數(shù)． 　　所以無論a＞1還是0＜a＜1，函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)都是減函數(shù)． 　　(3)證明：由y＝loga(1－ax)得1－ax＝ay，即ax＝1－ay，故x＝loga(1－ay)，于是f－1(x)＝loga(1－ax)．又由(1)可知，f(x)的定義域和值域相同，從而f(x)與f－1(x)的定義域相同，因此f－1(x)＝f(x)．由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱． 　　點評：在求對數(shù)函數(shù)的定義域和值域時，要注意討論底數(shù)的取值范圍，特別是在求值域時要先求1－ax的范圍，再由a的取值確定值域．若一個函數(shù)的圖象本身關(guān)于直線y＝x對稱，就是指這個函數(shù)的反函數(shù)是其本身，這個知識點要對學(xué)生強調(diào)一下．