Question

某同學在研究函數(shù)（x∈R）時，給出了下面幾個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；②若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；③f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則對任意n∈N*恒成立，
上述結(jié)論中所有正確的結(jié)論是

1. A.
   ②③
2. B.
   ②④
3. C.
   ①③
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），可由絕對值不等式的性質(zhì)證明得；②可從反面考慮，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），可根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出其是一個增函數(shù)，；③與②的判斷方法一樣；④由其形式知，此是一個與自然數(shù)有關的命題，故采用數(shù)學歸納法進行證明，即可得答案．
解答：①|(zhì)x|＜1+|x|，故，函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），①正確；
②函數(shù)是一個奇函數(shù)，當x≥0時，，判斷知函數(shù)在（0，+∞）上是一個增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)（x∈R）是一個增函數(shù)，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），
從而有若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；
此命題正確；
③由②已證f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，故此命題不正確；
④當n=1，f₁（x）=f（x）=，，
假設n=k時，成立，則n=k+1時，成立，
由數(shù)學歸納法知，此命題正確．
故選D．
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．