Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)短軸上的端點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=120°
（1）求橢圓方程；
（2）是否存在直線l：y=kx-2，使l與橢圓的交點(diǎn)A、B落在以P為圓心的圓上？若存在，求出斜率，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|PF₁|=a=2，∠PF₁O=30°，從而得到|PO|=b=1，由此能求出橢圓方程．
（2）先假設(shè)存在直線l，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)線段落AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），聯(lián)立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)短軸上的端點(diǎn)，
F₁，F(xiàn)₂是其焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=120°，
∴|PF₁|=a=2，∠PF₁O=30°，∴|PO|=b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）假設(shè)存在直線l：y=kx-2，使l與橢圓的交點(diǎn)A、B落在以P為圓心的圓上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)線段落AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
聯(lián)立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，
△=256k²-48（4k²+1）=64k²-48＞0，
解得k＞

3

2

或k＜-

3

2

．
x₁+x₂=

16k

4k2+1

，x0=

8k

4k2+1

，y₀=kx₀-2=

-2

4k2+1

，
∵點(diǎn)A、B落在以P為圓心的圓上，
∴點(diǎn)P在線段落AB的垂直平分線上，
∵P（0，1），M（

8k

4k2+1

，

-2

4k2+1

），
∴k_PM=

-2 4k2+1 -1

8k 4k2+1

=

-4k2-3

8k

，
∴k_PM•k=

-4k2-3

8k

•k=

-4k2-3

8

=-1，
解得k=±

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷，考查直線斜的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．