Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx在R上有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx在R上有3個零點，當x＞0時，令f（x）=0，有兩個實數(shù)解．可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$即直線y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$有兩個交點．x＜0時有一個交點，求出g（x）的導數(shù)和單調區(qū)間，可得最值和端點處的函數(shù)值，即可得到所求k的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx在R上有3個零點，當x＞0時，令f（x）=0，有兩個實數(shù)解．可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$即直線y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$有兩個交點．
由g′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令1-2lnx=0，可得x=$\sqrt{e}$，可得g（x）在（0，$\sqrt{e}$），函數(shù)是增函數(shù)，
在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
即有g（x）在x=$\sqrt{e}$取得最大值$\frac{1}{2e}$；
直線y=k和函數(shù)g（x）的圖象有兩個交點．k∈（0，$\frac{1}{2e}$），
函數(shù)F（x）=f（x）-kx在R上有3個零點，x＜0時y=k和g（x）=$\frac{1}{x}$有一個交點，k∈（0，$\frac{1}{2e}$），
顯然成立．
實數(shù)k的取值范圍為（0，$\frac{1}{2e}$）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運用轉化思想，構造函數(shù)法和導數(shù)求得單調區(qū)間、最值，考查運算能力，屬于中檔題．