Question

中國跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線為如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10

2

3

m，入水處距池邊的距離為4 m，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）在某次試跳中，測得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為3

3

5

m，問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由．
（3）要使此次跳水不至于失誤，該運(yùn)動(dòng)員按（1）中拋物線運(yùn)行，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題意可知O，B的坐標(biāo)和A的縱坐標(biāo)，把（0，0）點(diǎn)代入拋物線方程求得c，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得a，b和c的關(guān)系把（2，-10）代入拋物線方程求得a，b令一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則拋物線方程可得．
（2）把x═3

3

5

-2代入拋物線方程求得y，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)員距水面的高度，與5進(jìn)行比較判斷出答案．
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內(nèi)完成動(dòng)作并做好入水姿勢時(shí)，運(yùn)動(dòng)員很難做到．故可看當(dāng)y＜0時(shí)，要使跳水不出現(xiàn)失誤y的范圍，進(jìn)而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得x的范圍．

解答：解：（1）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，拋物線的解析式為
y=ax²+bx+c．
由題意知，O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0）、（2，-10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

2

3

，c=0，
所以有

4ac-b2

4a

=

2

3

，
4a+2b+c=-10．a(chǎn)=-

25

6

，
解之得b=

10

3

，c=0
或a=-

3

2

，b=-2，c=0．
∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，∴-

b

2a

＞0．
又∵拋物線開口向下，∴a＜0．
∴b＞0，后一組解舍去．
∴a=-

25

6

，b=

10

3

，c=0．
∴拋物線的解析式為y=-

25

6

x²+

10

3

x．
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為3

3

5

m時(shí)，即x=3

3

5

-2=

8

5

時(shí)，
y=（-

25

6

）×（

8

5

）²+

10

3

×

8

5

=-

16

3

，
∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為
10-

16

3

=

14

3

＜5．
因此，此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤．
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內(nèi)完成動(dòng)作并做好入水姿勢時(shí)，當(dāng)然不會(huì)失誤，但很難做到．
∴當(dāng)y＜0時(shí)，要使跳水不出現(xiàn)失誤，
則應(yīng)有|y|≤10-5，即-y≤5．
∴有

25

6

x²-

10

3

x≤5，
解得2-

34

≤x≤2+

34

．
∴運(yùn)動(dòng)員此時(shí)距池邊的距離至多為2+2+

34

=4+

34

m．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題．解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系．