Question

已知函數(shù) (R)．
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí), 取得極大值為;當(dāng)時(shí), 取得極小值為-6.（Ⅱ）a的取值范圍是．

（1）當(dāng)時(shí)，，
∴.                    
令="0," 得.                                   …… 2分                   
當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增.                     
∴當(dāng)時(shí), 取得極大值為;
當(dāng)時(shí), 取得極小值為.       …… 5分
（2） ∵= ，
∴△= =  .                             
①若a≥1，則△≤0，                                          …… 6分
∴≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                   
∵f（0），,                  
∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．       …… 8分 
②若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁<x₂）．
∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  
當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

                              …… 9分
∵,
∴.
∴


.
同理.
∴


.
令f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．                                    
而當(dāng)時(shí),,
故當(dāng)時(shí),函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).        …… 11分                            
綜上所述，a的取值范圍是．                               …… 12分