【題目】設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常數(shù)a,b∈R. (Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x)e﹣x . 求函數(shù)g(x)的極值.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f'(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b=2a,解得b=﹣3 令x=2,得f'(2)=12+4a+b=﹣b,因此12+4a+b=﹣b,解得a=﹣ ,因此f(x)=x3﹣ x2﹣3x+1
∴f(1)=﹣ ,
又∵f'(1)=2×(﹣ )=﹣3,
故曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y﹣(﹣ )=﹣3(x﹣1),即6x+2y﹣1=0.
(Ⅱ)由(I)知g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x
從而有g(shù)'(x)=(﹣3x2+9x)e﹣x
令g'(x)=0,則x=0或x=3
∵當(dāng)x∈(﹣∞,0)時,g'(x)<0,
當(dāng)x∈(0,3)時,g'(x)>0,
當(dāng)x∈(3,+∞)時,g'(x)<0,
∴g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0時取極小值g(0)=﹣3,在x=3時取極大值g(3)=15e﹣3
【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知中f(x)=x3+ax2+bx+1,我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式,易求出導(dǎo)數(shù)f'(x),結(jié)合f'(1)=2a,f'(2)=﹣b,計算出參數(shù)a,b的值,然后求出f(1)及f'(1)的值,然后代入點斜式方程,即可得到曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.(Ⅱ)根據(jù)g(x)=f′(x)e﹣1求出函數(shù)g(x)的解析式,然后求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)零點后,利用零點分段法,分類討論后,即可得到函數(shù)g(x)的極值.
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【題目】如圖,△ABC中,sin = ,AB=2,點D在線段AC上,且AD=2DC,BD= .(Ⅰ)求:BC的長;(Ⅱ)求△DBC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數(shù),若f(x)≤|f( )|對x∈R恒成立,且f( )>f(π),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ﹣ ,kπ](k∈Z)
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【題目】某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為 和 .現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立. (Ⅰ)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
(Ⅱ)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元,求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于函數(shù)y=f(x),下列說法正確的是( )
A.在x=﹣1處取得極大值
B.在區(qū)間[﹣1,4]上是增函數(shù)
C.在x=1處取得極大值
D.在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù)
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【題目】已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時, ,若在內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍.
(2)令,是否存在實數(shù),對任意,存在,使得成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】假設(shè)某種設(shè)備使用的年限x(年)與所支出的維修費用y(元)有以下統(tǒng)計資料:
參考數(shù)據(jù): .參考公式:
如果由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:
(1) (2)線性回歸方程
(3)估計使用10年時,維修費用是多少?
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