Question

（本題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在拋物線上．?dāng)?shù)列中，點(diǎn)在經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線上．

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；；（Ⅱ）存在唯一的符合條件；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，可將點(diǎn)代入拋物線，得，由此能求出；過點(diǎn)，以方向向量為的直線方程為，把點(diǎn)代入能求出；（Ⅱ）這是探索性命題，一般先假設(shè)存在，由，利用題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在唯一的符合條件；（Ⅲ）由，知，設(shè)，得，利用構(gòu)造法能求出正數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）將點(diǎn)代入拋物線得：

數(shù)列是等差數(shù)列．

，即

為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為

在直線上．

（Ⅱ）由題

①當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，即，②當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，即（舍去）

故存在唯一的符合條件．

（Ⅲ）由題

設(shè)，

則

，即數(shù)列是遞增數(shù)列．

考點(diǎn)：求數(shù)列通項(xiàng)公式，數(shù)列綜合問題，數(shù)列與不等式.