Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在[1，e]上是最小值為，求a的值．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞；f′（x）＜0，可得0＜x＜；
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）．…（5分）
（2）．
當(dāng)a≥0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴F（x）_min=-a=，∴a=-，舍去 …（7分）
當(dāng)a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增
若a∈（-1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，，∴F（x）_min=-a=，∴a=-，舍去 …（9分）
若a∈[-e，-1]，F(xiàn)（x）在（1，-a）單調(diào)遞減，在（-a，e）單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-，符合題意
若a∈（-∞，-e），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，舍去 …（11分）
綜上所述：a=-…（12分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2），對a結(jié)合在[1，e]上是最小值為，分類討論，建立等式，從而可得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．