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已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.
（1）+=1  （2），證明見解析

解:(1)拋物線y2=8x的焦點為(2,0),
又橢圓以拋物線焦點為頂點,
∴a=2,
又e==,
∴c=1,∴b2=3.
∴橢圓E的方程為+=1.
(2)由(1)知,F(-1,0),
由
消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵l與橢圓交于兩點,
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即m2<4k2+3.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1、x2是上述方程的兩個根,
∴x1+x2=-,x1·x2=,
又y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=
∴=+=（-,）,
由點P在橢圓上,得+=1.
整理得4m2=3+4k2,
又Q(-4,-4k+m),
∴=(-3,-4k+m).
∴·=（-,）·(-3,m-4k)
=+
=
=.
即·為定值.
練習冊系列答案
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C．充要條件 D．不充分不必要條件

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A．B．C．D．

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橢圓+=1的離心率為(　　)
A．B．C．D．

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