Question

如圖，在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為（　　）

• A、1
• B、

  2

  4

• C、

  6

  2

• D、

  10

  4

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示，過點E作EF⊥AB，垂足為F．由于E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為1，可得OF=EF=

1

2

．OE=

2

2

．在平面CED內(nèi)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點．可得C(

2

2

，1)，代入解出即可．

解答： 解：如圖所示，
過點E作EF⊥AB，垂足為F．
∵E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為1，
∴OF=EF=

1

2

．
∴OE=

2

2

．
在平面CED內(nèi)建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點．
C(

2

2

，1)，
∴1=2×

2

2

P，解得p=

2

2

．
F(

2

4

，0)．
即點F為OE的中點，
∴該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為

( 2 2 )2+( 2 4 )2

=

10

4

，
故選：D．

點評：本題考查了圓錐的性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了轉(zhuǎn)變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．